贵州省德江县共和镇初级中学   冯胜芬

提高解题教学水平，需要扎实的解题基本功，具有丰富的解题经验，掌握各种类型的解题方法和解题策略。

一  整体思维法的意义

所谓整体思维法，就是从整体上去观察、分析和处理问题的思维方法。它的主要特征是从全局上去观察事物，分析整体与局部的关系，揭示事物的总体本质，着眼于制定解决问题的整体策略。

运用整体思维法解题，要求在处理数学问题时有整体意识，自觉地从整体去研究问题，许多问题难解就是因为缺乏整体思维意识；有些解法感觉巧妙，巧就巧在有整体思维意识。因此，强化整体思维意识的培养，对增进学生的创新能力是十分有益的。

二  整体思维法应用

在中学数学中，用整体思维法分析和解决问题通常有事半功倍的效果。现举例如下：

1．整体看待，整体代入

例1  已知x满足方程x³+x²=1,求y=x⁵+x⁴+2x³+x²+2012的值。

分析：如果从x³+x²=1中求出x的值，再代入y的解析式中去计算，则比较麻烦。若能把x³+x²=1看成一个整体，也就是把x³+x²-1=0看成一个整体代入y=x⁵+x⁴+2x³+x²+2008就比较简单。

解：由已知的x³+x²=1，用x³+x²-1=0代入，

则有：

y=x⁵+x⁴+2x³+x²+2012

=（x²+2）（x³+x²-1）+2014

     =(x²+2)*0+2014

     =2014

例2  已知x²-3x+5=7，则代数式3x²-9x-2的值为          。

 分析：把x²-3x+5=7看成一个整体，也就是x²-3x=2，然后在代入代数式3x²-9x-2中，这样就比较简单。

 解：∵x²-3x+5=7,

∴x²-3x=2,

∴3x²-9x-2=3(x²-3x)-2=6-2=4.

2．整体猜想，整体处理

例3  设g (x)=ax²+c,且-4≤g(1)≤-1,-1≤g(2)≤5,求g(3)的取值范围。

分析：在分析问题、解决问题的解法时，要自己的思维尽量展开。有时一个解析式可能是某个整体的一部分，或者是把它联想或者猜想成一个与之相关的整

体。如本题把g(1)、 g(2)、g (3)看作一个整体，由于g(1)、g(2)的取值范围已知，因此我们只需寻找g(3)与g(1) 、g(2)的关系。

解：由已知，可设：

          g(3) = m g(1) + n g(2),

     又由于：

g(3)= 4a+c,  g(1)= a+ c,  g(2)= 4a+c,

         得：

9a+c = m (a+ c) + n (4a+ c),

         即：(m + 4n)a+(m + n)c=9a + c,

            所以：m=-5/3, n=8/3,

从而：

     g(x)=-5/3g(1)+ 8/3g(2)

又因为：-4≤g(1)≤-1,-1≤g(2)≤5，

 所以：-1≤g(3)≤20

 

通常情况下，学生解题往往从局部出发，不善于从整体出发，从整体考虑问题。因此，在探索解题方法时，我们应注重问题的整体结构．从而获得解题思路。