浅谈提高高中数学三角函数教学的有效性

四川省广安第三中学校  李成刚  638500

【摘  要】：三角函数是高中数学的重要组成部分之一，三角函数作为高中重要的教学内容，它包含着十分丰富的数形结合转化以及回归等一系列的数学思想。三角函数的内容较为灵活，也比较复杂，这就要求学生有比较高的学习能力与理解能力。本文从新课标出发，阐述了在三角函数的教学目标、存在问题及教学方法，如何提三角函数的解题技巧以及三角函数教学的有效性的策略。

【关键词】：新课标；高中数学；三角函数；解题技巧；有效策略

在我国现阶段，初中阶段的数学与高中阶段的数学衔接还是比较紧密的，在初中阶段，学生对三角函数就有了一定的了解。由于高中数学的三角函数的知识点增多，难度加大，就导致学生学习起来比较吃力。总的看来，高中数学三角函数教学与学习的难点大致概括为以下几个方面：概念比较难记忆：在三角函数学习的过程中，大部分学生对三角函数的概念都不是很清楚。

另外，由于诱导公式以及转换公式比较灵活与复杂，使得学生记忆起来比较困难，从而经常出现记忆错误与应用错误。公式比较难推理：大多数学生在学习三角函数时，都不能明确公式的具体内容，从而无法对大量的公式进行快速的反应与记忆。综合知识运用起来比较困难：在高中阶段，三角函数的概念基本已经渗透在数学学习的方方面面，但在实际的教学与学习中，很多教师与学生对此都没有清楚的认识，学生在解题的过程中并不知道从哪个角度可以应用三角函数来进行求解，更不清楚具体应该应用哪一个公式，从而使得学生在应用三角函数的过程中比较困难。

一、三角函数的课堂教学的目标、问题及方法

   1.1 三角函数的课堂教学目标。

在三角函数的教学过程中，教师为了提高其教学质量，必须根据实际情况，对教学方法进行创新。应从培养学生的逻辑思维能力出发设计教学方案，围绕高中数学课标要求，抓住三角函数的教学主线，重点考虑如何让学生掌握任意角的正弦、余弦函数的定义，以及三角函数二倍角公式的有序转换等内容；使学生能够在此基础上，深刻理解任意角的三角函数不同的定义方法，充分掌握并能初步运用公式，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义；通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合的理解，拓展思维空间，培养学生的识别辨析能力，让学生养成严谨的学习态度，从中感悟数学概念的严谨性与科学性，养成主动思考数学问题的良好习惯。

1.2教学在教学三角函数方面存在的问题。

有些教师在课程标准中对数学思想的理解不到位，与教科书结合得不够好，导致了在教学中无法正确引入数学思想。在概念的讲解中教师依旧采取传统教育的方法进行教学。学生处于被动学习状态，参与度较低，并且教师也无法创设合适的教学情境，在教学过程中无法接纳现代化教学手段，渗透教学思想。教师在诱导学生推导公式的探索过程中，无法灵活地运用数学思想方法，在此方面的能力有待提高。有些教师在讲解三角函数的习题或者例题，并没有深挖题目背后的数学思想，对数学思想的概念比较模糊。这些数学思想恰恰是三角函数中的重要思想，是重要考点。

1.3如何设计新颖有效的教学方法是提高解题技巧的关键。

在高中数学教学中，三角函数是最为基础的内容之一，三角函数的概念性知识对于学生今后的数学学习有着非常重要的作用与意义。因此，作为高中数学教师，在这部分的教育教学过程中，要采用多种教学方法，引导和鼓励学生深层次地理解与把握三角函数的相关定义，为今后同学们学习打下坚实的基础，从而提升的数学学习能力。教师在实际的三角函数教学过程中，通过多媒体技术更好地完成教学工作，把在三角函数中出现的有关概念与知识用直观的方式展示给学生，学生更容易接受，通过刺激他们的眼睛、耳朵等感官来帮助学生自己主动去归纳与总结三角函数的相关概念与知识，有利于学生发散性思维能力的培养。

例如，在高中数学必修５第一章《解三角形》中，对于“正弦定理”教学过程，我们可以根据教学的内容来设置合理的教学情境：同学们已经知道，在直角三角形中，由勾股定理、三角形内角和及锐角三角函数等知识，可以得出：各边和它所对的角的正弦的比值相等，那么，在斜三角形中这个性质依然成立吗？同时，我们固定三角形ＡＢＣ的一边ＢＣ及角Ｂ，让边ＡＣ绕着顶点Ｃ旋转，我们发现角Ｃ的大小与它的对边ＡＢ的长度之间有怎样的数量关系？让学生从已有的几何知识出发，通过对一系列的问题的探究，共同发现在任意三角形中各边与其对角正弦间的关系。在这节课中，我采用了发现式的学习方法，首先让学生结合实际提出问题，然后通过观察实例提出猜想，再通过探究、证明等得出结论，最后通过运用正弦定理解决实际问题，达到融会贯通的效果。在教学中，我们不断地提问题，让学生发现问题，从而引导学生对问题的自主探究，有利于学生进一步对三角函数的理解与记忆。

二、提高学生三角函数的解题技巧是有效教学的关键

2.1举一反三，丰富解题思路。

在高中数学三角函数的学习过程中,不要总是想要走捷径,要想提高解题技巧,就需要反复的练习,这样才能够达到快速高效解题的目的.所以,在高中数学三角函数解题过程中,要学会把理论与实践相结合,这样能够丰富学生的解题思路,比如在三角函数学习中分为正弦、余弦.其中在正弦定理学习的过程中,可以加强习题的练习,这样才能够提高对正弦定理的理解.例如,在一个锐角三角形ABC中,每个内角为A、B、C的相对应的对边为a、b、c,a等于2bsinA,根据要求求出B的大小.解题思路如下：从题目中可知,a等于2bsinA,根据正弦定理的sinA等于2sinBsinA,所以sinB等于1/2.这道题主要是考察学生对于正弦定理（a/sinA等于b/sinB等于c/sinC等于2r等于D）的掌握程度,只有掌握了三角函数的基本知识,通过反复的练习,才能够提高解题技巧,有效地让学生能够发挥自身的作用.

2.2学会利用万能替换法。

在高中数学中,学生可以利用万能替换法来解决三角函数的问题.对于形如astn θ+bcos θ的式子,我们可以通过引入一些辅角把其变成一种新的形式,在这一过程中辅助角所在的象限由a、b的符号决定,值是由tan等于确定.对于这一关系的转化,主要是要通过训练来完成的,这样能够加深学生对这一知识点的认识.在对于三角函数的化简与求值的过程中,一般有两个解题的方法和技巧：一是在三角函数的化简时,学生可以根据三角函数中的相应公式,减少三角函数的数量,尽可能的把角化为、把题目中的sin、cos化为同名、切割化弦、高次化低次等.二是三角函数的求值问题,在这一题目中主要是解决角求值问题和给值求角问题.在解题过程中,主要是通过合理的变化,把要求出的三角函数值与特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数之间建立起联系.在选择公式时,要尽可能的由繁化简,把其变得更加灵活,减少或者约项,进一步高效快速的解题.

2.3通过常值代换，解决问题。

在解决三角函数问题时,我们可以利用常值代换的方式,把一些具有特殊值的项还原成三角式进行代换,在三角函数中尤其是“1”的多种变形,是典型的数值转化为角的函数例子.在运用和差角正切公式进行化简和求值,要注意公式的逆用和特殊角的变形.比如：在学习三角函数中我们知道1等于tan θ cot θ.1等于sin2 θ+cos2 θ.1等于csc2 θ-cot2 θ.1等于see2 θ-tan2 θ.1+tan θ 1-tan θ等于tan45°+tan θ 1-tan45°tan等于tan（45°+θ）等等.在解题过程中,我们就可以利用这些变形方式来解决问题.例如：计算1+tan15° 1-tan15°的值.在解题过程中：1+tan15°1-tan15°等于tan45°+tan15°1-tan45°tanl5°等于tan（45°+15°）、等于tan60°。

三、提高高中数学三角函数教学有效性的策略

    3.1加深三角函数公式、概念记忆。

数学公式和概念蕴藏了丰富的数学思想，是数学教学中的重要依据，更是学生学习数学理论的基础。但是由于三角函数的计算公式和概念较为抽象、繁琐，学生容易出现记得不牢或记忆混淆，导致在做题过程中发生因做题步骤较多而出现计算失误的问题。所以，在三角函数的学习过程中，需要教师运用有效的教学方法从中加以引导，帮助学生能够更加简便的、透彻的理解概念及公式内容。如：为了帮助学生理解三角函数的概念及公式，教师可以采用图像法，将抽象的三角函数概念具体化。在三角函数的课堂教学中，可根据学生已有的知识储备，将新旧知识融合，在现有的基础上进行课堂教学设计，引导学生能够灵活的运用公式变形简化计算步骤，学会观察公式间的内在联系及特点，懂得在做题过程中，发掘其中差异，寻找联系，熟悉公式的客观转化，从而提高课堂教学实效。

3.2拓宽教学范围，提升学生学习质量。

指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等都是高中数学函数的学习内容，它们是高中数学学习中的重要组成部分。虽然高中数学要学习的函数类型众多，而且是知识中重难点，但是，它们之间都存在着相互的联系。因此，教师在进行三角函数的课堂教学时，应根据总体函数的知识概况，摸索出这些函数之间的联系，使学生在教师的引领下摸索出三角函数与其他非三角函数的相似之处，以及探讨出它们的不同之处，帮助学生组织清晰的思维能力，理清分析思路，拓宽学生学习范围，提高学生的学习质量。

3.3发展学生解题思路，提高三角函数解题能力。

通过以往的教学经验可以得知，同一道数学题可以有多种解答思路，需要学生从多方面进行分析，熟练掌握解题技巧与解题规律，然后确定解题方法。因此，在进行课堂教学时，教师应该尊重学生的学习主体地位，引导学生对题目进行探索，从而培养学生的独立思考能力。让学生通过对比做到举一反三，学会发掘不同的解题方式，熟练地掌握各类解题方法，从中找出最适合自己的解题思路，并以最快的速度进行解答。例如：已知ｔａｎα＝３，求ｃｏｓα－ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎα，教师可以引导学生对题目进行多方面分析，帮助学生拓宽解题思路，让学生尽情发挥数学思维，从中找到多种解题方法，并进行比较分析。第一种方式：因为ｔａｎα＞０，所以就可以判断α在第一象限或第三象限，然后分别针对两种情况求出ｃｏｓα和ｓｉｎα的值，最后得出答案。第二种方式：由于ｔａｎα＝３，而ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα，可以得出ｓｉｎα＝３ｃｏｓα，把这个变换的等式代入原式中间进行约分，可以得出－１２的结果。第三种方式：通过函数转化公式，就可以得出ｃｏｓα－ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎα＝１＋ｔａｎα１－ｔａｎα＝－１２的结果。对于以上的三种解法，后两种可能更加的简单直接，能更快地算出答案。教师通过让学生进行多向思维，分析解题方法的教学，不管是学生在今后的考试中或者是参加竞赛时都能够以最快的速度、最省事的方法进行题目解答。帮助学生拓宽了解题思路，开发数学思维，让学生以自己的思维方式做出最快、最正确的解答。

参考文献：

[1]赵嘉昊．高中数学三角函数的学习心得分析[Ｊ]．中学课程辅导（教学研究），2017(20):69

[2]戚雪敏．高中数学三角函数教学策略初探[Ｊ]．考试周刊，2017(94):118

[3]邵圣华．高中数学三角函数教学要点分析[Ｊ]．考试周刊，2017(93):81