浅谈线段图在解决分数实际问题中的独特作用 四川省南充市高坪第一小学 冯运莲 【摘 要】：在现阶段小学数学分数教学中，教师可以有效地运用线段图解决问题，帮助学生理解小学分数问题中一些复杂的文字，抽象的数量关系等。线段图能够将分数问题中复杂的数量关系以直观的图表形式呈现出来，从而将小学生感觉难以理解或者掌握的分数转化为简单易懂的图形问题，这可以帮助学生准确理解题意，列出对应的数量关系，然后顺利解题。本文重点分析了当前线段图在解决小学数学分数问题中的价值，并提出阐述了其独特作用和操作策略。 【关键词】：线段图；小学数学；分数问题；独特作用，操作策略 《线段图在解决分数实际问题中的独特作用研究》是我校承担的市级管理规划课题，是我们从2018年4月至今扎扎实实开展，经过实践与研究，总结线段图在解决分数教学中的实际问题，分析原因，在实践研究中形成相应对策，从而提升了学生的数学思维能力，提高了实验班的教学质量，为素质教育的发展奠定了基础。 本课题主持人冯运莲，课题组成员为我校高年级数学教师向玉清、薛雁、杨礼、曹薇、侯小利。课题历经准备阶段、实验阶段、提升阶段、总结阶段，统筹规划，精心安排，按步实施，在实验过程中及时发现问题，分析问题，解决问题，不断反思、完善，取得了一定的成果，现顺利结题。 一、线段图在解决小学数学实际问题中的价值 1.借助线段图，让抽象文字更加直观。数学可以说是学生学习其他学科的基础，要想让学生掌握科学知识，具备科学探究的能力，就需要让他们学好数学。数学知识点的内容比较复杂，而且理论性非常强，尤其是分数数学应用题。这就导致许多学生很难对数学产生学习兴趣，更不要说解题了。所以，教师要利用多种方法制定合理的教学计划，将线段图的运用引入数学课堂中。大多数小学数学分数应用题包含的信息非常丰富，同时也极为复杂，但这一年龄阶段的学生理解能力还不够，不能快速准确地提炼出有效信息。而用线段图能够将抽象的文字转化为形象的数字，最终直观地呈现出各个数字之间的数量关系，非常有利于学生对问题的分析。 2.利用线段图可以化难为易。采用线段图能够提高学生做题的速度，让学生能够精确地从题目中选择有用的信息。由于每一个学生的学习能力不同，教师就需要根据他们的能力强弱采用不同的教学方法。灌输式的教学往往缺乏师生之间的高效互动，很难让学生真正参与到学习中，许多学生往往身在课堂，心思早就不知道飞到什么地方去了。而运用线段图来解决分数应用题，学生就会感觉原来自己也可以做对小学数学分数应用题，相对就会感觉小学数学分数应用题较为简单，积极性也会逐渐提高。由此可见，运用线段图解决小学数学分数应用题，能够有效地将题目化难为易，增强学生解题的自信心。 3.开拓学生的思维，帮助学生一题多解。由于数学是对逻辑思维要求比较高的课程，在讲解知识的时候就会显得比较无趣。但是现阶段的数学课堂并不是如此，数学课也可以因数学小游戏、生活案例以及多媒体而变得多姿多彩。学生对课堂感兴趣之后，教师再将线段图的运用教授给学生，让学生能够在兴趣的基础上掌握解答应用题的技巧。如果教师单单只是根据教材内容平铺直叙，根据应用题的题目照本宣读，注意力不集中的学生很容易就会失去兴趣，而课堂过于压抑，也不利于学生的学习。因此，他们在学习较为抽象的数学知识时也会比较困难，而这时教师可以运用线段图解决问题，让学生了解到原来数学并不复杂。 二、线段图在解决分数实际问题中的独特作用 1.线段图使用得当，可化抽象为具体。由于小学生年龄偏小，理解能力有限，初步接触分数感到陌生，给理解题意带来很大的困难，所以在初步接触分数应用题教学中，我们指导学生先把条件和问题反映在线段图上，把抽象内容具体化。这样的训练使学生养成了良好的思考问题的习惯，帮助他们解决了解答应用题的一些困难。如冯运莲老师在探索整数除以分数的计算方法时，（1）2÷ 如何计算？引导学生结合线段图进行理解。（2）先画一条线段表示1小时走的路程，怎么样表示小时走了2 km这个条件？（将线段平均分成3份，其中2份表示的就是小时走的路程）aDFdk6hhPd 从这一事例中看到，线段图能使抽象的内容具体化，不仅使学生能很好理解应用题的内容，更重要的是能正确做出正确无误的判断。 2.线段图能化难为易。有的应用题，数量关系比较复杂，学生难以理清，借助线段图可以准确地找出数量间的对应关系，很容易解答出要求的问题。如向玉清老师在教学六年级数学上册相关练习：“比（ ）多（ ）”、“比（ ）少（ ）”的应用题时，因此课是教学中的难点，难在学生一看“比（ ）多（ ）”不加分析就判断用加法计算，反之则用减法计算。而向老师在运用线段图避免学生出现这种错误判断。如：甲桶油重 千克，比乙桶油多 ，乙桶油重多少千克？引导学生作图分析：先画出乙桶油，再画甲桶油重，由“比乙桶油多 ”知道谁多？谁是标准量？谁是对应量？ 乙桶油 甲桶油 通过上图观察：就能避免出现一看见“比（ ）多（ ）”或“比（ ）少（ ）”就用加减法计算的错误了。 3.线段图能化繁为简。有些应用题条件复杂，如果用常规的思考方法难以获得解题途径时，这时不妨利用线段图，把已知量、未知量、和隐蔽的条件一一标出来，这样简明扼要，清晰醒目，既能化难为易，也能化繁为简。可以帮助我们迅速找到解题方法。如杨礼老师在教学六年级上册第三单元《分数除法》练习题：“小明体重是42千克，他的体重比李叔叔的体重轻 ，李叔叔的体重是多少千克？”导引学生思考，画出下列线段图： 李叔叔： 小明： 学生根据画出的线段图进行观察思考：（1）单位“1”的量是谁？（2）已知量是谁？（3）已知量与未知量间有什么数量关系？再仔细分析两者之间的关系，搞清楚谁是谁的 ，然后找出 所对应的量，于是解决这道应用题的钥匙找到了，从而得出：李叔叔的体重×（1- ？ ）＝小明的体重。 4.用线段图解题能促进学生知识向能力转化。线段图不但能帮助学生解答复杂的分数应用题，而且借助线段图，还可以对学生进行多种能力的培养。如一题多解能力的培养、根据线段图来编应用题，进行说话能力的培养、还可以直接根据线段图进行列式计算。线段图画的美观大方，结构合理，还可以对学生进行审美观念，艺术能力的训练。如薛雁老师在研究课中教学《整数除以分数的计算方法》时，（1）先画一条线段表示1小时走的路程，怎么样表示小时走了2 km这个条件？（将线段平均分成3份，其中2份表示的就是小时走的路程）aDFdk6hhPd （2）引导学生讨论交流：已知小时走了2 km，要求1小时走了多 少千米？可以先算什么，再算什么？（3）根据学生的回答把线 段图补充完整，并板书出过程。先求小时走了多少千米，也就是求 2个，算式：2×再求3个小时走了多少千米，算式：2××3 （4）综合整个计算过程：2÷＝2××3＝2×。（5）小结出计算法则：从上面这个推算过程，我们发现——整数除以，分数等于用整数乘这个分数的倒数。（6）计算÷，探索分数除以分数的计算方法 在小学数学分数解决问题的教学过程中，教师引导学生充分利用线段图，将题中蕴涵的抽象的数量关系以形象、直观的方式表达出来，让学生从中理解题意，分清其中数量关系，从而顺利解决问题，使教学效果事半功倍，促进了学生知识向能力转化。 三、、用线段图解答分数实际问题的操作策略 1.数形结合、复习引入。如向玉清老师在教学《求一个数的几倍或求一个数的几分之几用乘法计算》，先出示线段图，学生口头列式，并说说自己的想法。 （1）课件出示： 一条线段表示120 120×3=360 （表示120的3倍是多少？） 120×1=120 （表示120的1倍是多少？） 120×1/2=60 (表示120的1/2是多少?) 120×3/4=90 (表示120的3/4是多少?) （2）反馈交流。（3）小结：求一个数的几倍或求一个数的几分之几用乘法计算。 向老师这样设计原本是希望学生能够通过知识迁移来理解新知，因为求一个数的几倍是多少，学生已经非常熟悉了，而求一个数的几分之几是多少，和前者数量关系是相同的，同时一开始就利用线段图来引入，数形结合，可以更好地帮助学生理解新知。在第一次试教的过程中，确实也达到了预期的效果，但是也带来了负面效应：由于第一个环节之后小结得到求一个数的几倍或求一个数的几分之几用乘法计算这样的结论。聪明的孩子们，在后面的练习中，先列出乘法算式，然后为了应付题目要求，懒洋洋地画线段图，似乎画线段图是个累赘，这样的话，就变成为了画线段图而画线段图，而不是利用线段图帮助自己解题了。 2.讨论交流、探索方法。侯小利老师在教学《已知一个数的几分 之几是多少求这个数的应用题》时， （1）.教学例1的第一个问题：小明的体重是多少千克？读题、理解题意，并画出线段图来表示题意： （2）引导学生结合线段图理解题意，分析题中的数量关系式，并写出等量关系式。小明的体重×＝体内水分的重量 （3）放手让学生独立去分析问题。要求出示：①想一想，应重点抓住哪个已知条件分析？②如何去分析？（从意义、线段图、列数量关系式……）（4）这道题什么是单位“1”？单位“1”是已知的还是未知的？怎样求？（引导学生根据数量关系式，将未知的单位“1”设为χ，列方程来解决问题）。qo 在这个基础上，老师又让学生根据理解画出线段图，从而让学生对题中的数量关系清清楚楚、明明白白。之后，通过观察线段图让学生沟通本课知识与求一个数的几分之几是多少应用题的内在联系。真正达到了对知识的沟通、联系与深刻理解。 3.巩固深化，拓展延伸。薛雁老师在教学《求一个数的几分之几是多少的解决问题》时，先让学生读题，找出已知条件和要解决的问题： （1） 在理解题意的基础上用图表表示数量关系，如：
？㎡ 2500㎡ ？㎡ 2500㎡ （2）指导学生画线段图，并板书： 2500㎡ ？㎡ | | | | | | 在教学过程中，先让学生经历独立思考的过程，自主探索解决问题的策略和方法，提高学生自己分析解决问题的能力，遵循学生认知的特点，引导学生经历一个由实际问题到数学问题的转化过程，进一步发展思维能力。通过对比观察两个问题的线段图，引导学生理解在什么情况下画一条线段图，什么情况下画两条线段图。学会利用线段图分析数量之间的关系，最终使学生理解“求一个数的几分之几是多少”应该用乘法计算，为后面解决分数除法问题和稍复杂的问题做好方法上的指导和铺垫。 4.多次实践，演绎“线段图”教学的精彩。纵观小学数学教材，线段图的画法归纳起来一般有两种形式：如果题中的几个量是整体和部分关系时，要画单线分段图；如果几个量是并列关系时，要画复线并列图。以上教学环节就是让根据题意学画单线分段图，由于是第一课时，所以只涉及了两个量。整个教学过程，对于学生来说，是一个不 ： （出示条件） （理解题意） （提出问题） 断修正、逐步完善的过程，从提供的一句关键句入手，然后加上条件，最后给出问题，在逐步完善线段图的过程中，让学生明白如何根题意正确规范地画出线段图，再利用线段图理解题意，解决问题。通过这样反复训练，再结合教师课件的直观演示，学生一定会找出很多线段图解决分数问题有价值的信息。 5、教后反思，形成“线段图”教学板块。 （1）数十年占据数学教材的线段图，是否需要我们教师进行系统教学？（2）对线段图进行开发和教学，是否拔高或偏离了新课程的教学要求。带着这些疑惑，我们翻阅了大量的杂志，上网查阅很多特级教师关于阐述线段图的文章，期望从中能找到答案。从专家的文章中能感受到，线段图是师生数学教与学活动的有效工具之一，这是毋庸置疑的，择取部分老师的见解予以强调：如论文《浅谈线段图在小学应用题教学中的作用》的作者阐发线段图能使题目中的数量关系更形象，线段图可以提高学生判断的准确性，线段图能开拓学生的思维，易使学生形成更简洁的解答方法；俞正强老师则主张线段图教学从低年级开始，应该设置专门的课时；丁爱华老师更是结合《一个数乘小数意义》的课例，发出“不要冷落线段图”的呼吁等等。看着专家关于线段图的一篇篇论述，结合我们六次的研讨课教学经历，深深感受到会画线段图解决问题的重要性。线段图是基于数形结合的数学思想，将自然语言转译为图形语言的小学阶段最常用的形式之一，能为数学思维活动提供直观模型，变抽象为具体，以达到化难为易，化繁为简的目的，所以我觉得线段图的运用必须从低年级开始渗透，到中年级开始教学，到高年级能自主运用，让线段图这一解题工具在解决问题教学中发挥它最大的价值。 “线段图”是学生数学学习中解决问题的思维“工具”。工具的价值不在其本身，而在于其效用，那么掌握这个“工具”就需要从低中年级培养，早起步，循序渐进，从简单题入手，从低中年级养成画图解题的意识和良好的画图技能技巧，打下坚实的基础，到高年级才能应用自如。 参考文献： [1]张乃达 《数学思维教育学》［M］.江苏教育出版社，1991. [2]《新课程小学数学思想方法解读与备课专辑》人民教育 2006年7月第13－14期合刊. [3]徐珍珠.小小线段图，力量大无穷——浅谈线段图在小学数学分数应用题中的妙用[J].小学教学参考，2014，（1）.
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