由初中数学的折叠问题引发的思考

新疆伊宁市第六中学    富晓红

摘要： 近几年折叠问题成为初中数学重点考察的题型，是教学难点，也是中考的热点问题。想要解决这类问题，需要教会学生灵活运用轴对称性质、勾股定理、数形结合、全等思想等数学思想方法，锻炼学生观察、动手和逻辑推理能力。对此，本文简要介绍了对初中数学折叠问题的解读，并对这类问题的教学方法进行思考探究，希望能够提高学生数学思维能力。

关键词： 初中数学；折叠；教学方法；思考

折叠问题包含了平面图形和空间图形，需要学生具备空间想象能力、图形分析能力、思维转换能力。在考试中折叠问题的得分普遍不高，一方面是因为学生的空间想象能力比较薄弱，另一方面是学生尚未掌握解决这类问题的解题方法，形成数学思维习惯，导致面对复杂的图形，学生无从下手。因此，教师需要引导学生学习数学方法，形成数学思想，培养思维能力。下面笔者结合多年的教学经验，针对折叠问题提出自己的教学思考。

一、初中数学折叠问题的解读

图形折叠问题是几何变换的一种，是动态的变换形式，本质上是轴对称问题。它主要培养学生数形结合的思想方法，锻炼空间想象能力，因此成为热门的中考题型。想要学好几何图形中的折叠问题，学生需要牢牢掌握轴对称图形的性质，理清图形变换过程中所发生的位置变化，明白在折叠前后图形的形状和大小没有发生变化，只有图形位置有所改变，抓住折叠问题的关键点，掌握“变”与“不变”的性质，便可以突破折叠问题^［１］。

折叠问题中包含了重要的数学思维、丰富的知识点、灵活的解题技巧，如勾股定理、面积解析、数形结合、全等思想等，对学生的探究能力、逻辑推理能力、空间想象能力等提出更高的要求。因此，教师要加强对折叠问题的教学实践分析，探讨解决这类问题的方法和思路，促进学生数学思想、技能、经验等方面的发展，从而培养数学核心素养。

二、对初中数学折叠问题的教学思考

（一）寻找变换特征，形成思维习惯

数学图形千变万化为数学学习增添了许多的生动性和趣味性，可以激发学生的好奇心探究数学魅力，体验征服数学难题后的快感，增加学习信心。图形在变化的过程中存在一定的规律性，需要我们去摸索挖掘，体验数学的无穷吸引力。在解决折叠问题时，需要学生在折叠变换中寻找特征，因此可以要求学生亲自画出折叠图形，直观感受图形的变化有利于思维习惯的形成。例如，正方形纸片ABCD边长为9，折叠后的B点落在CD边上，折痕为MN。如果B’C=3，求BN和AM的长度。当学生画出准确的折叠后图形后，可以发现是一次轴对称变换，符合轴对称图形的性质。折叠前后的图形是全等的，轴对称上的点到对一点的距离相等，对称轴垂直平分折叠前后对应点所连的线段^［２］。学生掌握了这些基本特征后，便为解题提供了许多的条件，使得解题思维更加灵动。BN=B’N，在ＲtΔB'CN中得出BN，BM = B'M，AM在ＲtΔABM 与 ＲtΔB'DM中通过两次勾股定理得出。

（二）图形组合搭配，扩展思维角度

在平面几何中，图形折叠是重要的研究内容，与其他几何内容联系也十分紧密。因此，在解决折叠问题的过程中，可以与其他图形组合搭配，活跃数学思维，利用其他图形的性质，多角度解决折叠问题，有利于培养学生数学思维直觉^［３］。对于一些基本图形而言，特征比较清晰明了，方法简单，学生形成了一定的数学直觉，会反射性的利用已有条件，拓展思维角度。例如，在图２－１中，∠EBD = 90°，EA和DC都垂直于AC，可得出ΔABE ∽ ΔCDB。在图２－２中，∠EBD = 90°，EA和DC都垂直于AC，且BE与BD相等，可得出ΔABE ≌ΔCDB。当基本图形放入图２－３中时，便快速得出ΔABN ≌ΔBCB'。

（三）挖掘隐含条件，探究思维方法

对于折叠问题，几何推理证明不是难点，如何教会学生利用数形结合，掌握数量关系并进行量化计算才是重中之重。通常折叠问题是由多种基本图形相互融合的载体，包含着不同的组合搭配、隐含的等量关系、不变特征等，需要学生综合运用相关知识点，锻炼灵活思维，整体感知图形，根据数学直觉导向细化思维角度，逐步形成解题的思维方法^［４］。例如，在图３中，可以从整体感知中发现该图形是由点B沿着FG折叠后落在AD线上的点E，各个点相互连线得出的图３.那么可得出图中包含了很多的等腰三角形和直角三角形，如ΔBEF与ΔBEG是等腰三角形，ΔAEF、ΔBCG、ΔEOG、ΔAEF等是直角三角形，相互之间有可能存在着相似或全等的关系。这些隐含条件都需要学生挖掘得出，在应用中逐渐探究出思维方法。

（四）创设折纸情境，培养核心素养

在课堂上创设折纸活动，可以活跃课堂氛围，让学生在动脑动手的过程中享受数学学习的乐趣，为抽象数学增添活力。同时，在学生尝试解决问题的过程中，嵌入实例可以让学生直观的感受图形变换，接着猜测折叠图形所具有的性质，并亲自验证。最终，通过多维度、多层次思考得出解决这一类问题的方法和途径。因此，教师可以利用坐标纸作为折纸材料，引导学生用不同颜色表示折叠前后的区域。通过多次练习习题，锻炼学生动手操作能力，鼓舞学生主动参与到教学探究中，从而发展数学核心素养^［５］。

结束语：

综上所述，数学形式多种多样，但万变不离其宗。对于数学折叠问题，要抓住折叠问题的本质——轴对称图形。教师应当引导学生寻找变换特征，形成思维习惯，图形相互组合搭配，扩展思维角度，挖掘隐含条件，探究思维方法，最终达到举一反三的教学效果。教师也可以通过创设折纸情境，让学生在实践中获得数学思想和解题方法，进而培养数学核心素养。

参考文献：

[1] 钱旭东.动手折出精彩 思考凸显价值——“折纸与证明”课堂实录与反思[J].数学教学通讯,2019(32):16-18.

[2] 韩清华.初中数学教学中有关折叠问题的解题研究[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版),2018,31(05):114-119.

[3] 金洁霞.异曲同工,万变归宗——基于初中数学折叠问题的教学思考[J].中学数学,2019(06):51-52.

[4] 李晓琴.注重课堂实践，提升学科素养——由课堂裁剪与折纸经营几何学习[J].中学数学,2020(02):3-4.

[5] 汪晶晶.生长型数学专题复习课教学探索——以“矩形折叠问题”为例[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(18):38-40.