在小学分数解决问题教学中如何渗透数学思想

    四川省南充市顺庆区共兴镇小学  全创新   637000

【摘  要】：数学思想方法作为数学知识的精髓，是学生构建良好认知结构的关键所在。分数作为小学数学知识中的重要组成部分，至今已有很多人研究，但较少有人将分数与数学思想方法相结合。本文采用案例法，阐述了在分数解决问题教学中如何渗透数学思想的基本方法，达到培养学生解决问题的基本技能的目的。

【关键词】：小学数学 分数问题 数学思想 基本技能 数学素养

在小学分数解决问题教学中，我们常常发现，学生在单一训练时，正确率较高，但在综合练习中就容易出错。究其原因，在单一训练时，题型单一，毫无变化，很多学生依样“画葫芦”，机械化操作。但在综合练习时，问题变化多端，学生无法凭借固定的模式机械模仿，再加上对各类问题的特征模糊不清，对各种数量关系一知半解，错误也就层出不穷了。那么，如何克服这些问题，让分数解决问题教学更有效呢？笔者认为，教师在教学生学习分数解决问题基本技能的同时，更要不失时机地对学生进行数学思想方法的渗透，使学生在学好基础知识、掌握基本技能的同时，提高数学素养。

一、渗透类比思想，迁移数量关系

    新课程提出了课堂教学从传统的集中于数学的内容方面，其核心是给学生提供机会经过“问题情境—建立数学模型—解释”，不但能够使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且能够使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处。我们在分数乘除法应用题教学时，一方面尝试从不同的角度去寻求解决问题的方法，使学生获取教科书中未能表示的知识层面，获得解决问题的经验—建构应用题条件中蕴涵的数量关系模型来思考解题方法。类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上的思想。在教学“分数解决问题”的第一节课时，我是这样引入教学的：甲数是10，乙数是甲数的2倍，乙数是多少？学生轻轻松松解决问题后，我让学生总结并板书数量关系：甲数×2倍=乙数。接着，我将其中“2倍”依次改为1.5倍、[3︰2]、[2︰3]，引导学生小结：数量之间的关系有时说成几倍，有时说成几分之几，只是情境所致，说法不同而已。所以，求一个数的几倍用乘法计算，求一个数的几分之几也用乘法计算，理解时可以把分数当作倍数来思考。

    通过搭建倍数问题与分数问题的知识桥梁，让学生看到它们之间的内在联系，实现数量关系的正迁移，加强对知识的理解与掌握。在单元测试卷上有这么一道试题：光明小学的女教师比男教师多45人，男教师人数占女教师人数的[4︰13]，男教师有多少人？有一些学生就借助类比思想，将它迁移成五年级列方程解应用题的最后一个例题形式来解决。此题既不是已知标准量，也不是求标准量，是比较复杂的分数问题。如果用解决分数问题的一般思路去思考与解答，此题有一定难度，但是如果类比迁移到倍数问题中，此题难度就会大大降低。所以，滲透类比的数学思想，还可以大大减轻学生的学习负担。

二、渗透数形结合思想，理解数量关系

    数形结合思想是通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。在教学“两步计算的分数乘法解决问题”时，我提供给学生一份材料：一本书，小明第一天看了32页，第二天比第一天多看了[18]，第二天看了多少页？要求学生先用线段图表示题意，再根据图示分析数量关系，然后列式解答。结果学生在直观的线段图的启示下，纷纷有了自己的理解。于是，我有针对性地实物投影以下几种不同解题方案（图略）。

    思路一：从图上可以看出，第一天看的32页代表8份，可以先算出1份是4页，而第二天看的页数相当于有这样的9份，所以，32÷8×9=36（页）。

    思路二：从图上可以看出，第二天看的页数比第一天多[18]，表示第二天比第一天多看的页数是第一天的[18]，求32页的[18]是多少页，可以先算出第二天比第一天多看的页数，然后再加上第一天看的页数，算式便是32+32×[18]=36（页）。

    思路三：从图上可以看出，第二天看的页数比第一天多[18]，也就是说第二天看的页数相当于第一天的[98]，即（1+[18]），要求第二天看的页数，就是求第一天看的页数的[98]是多少页，用32×（1+[18]）=36（页）计算便是。

    显然，在教学分数解决问题时，由数想形，以形助数的数形结合思想，可以使问题直观呈现，有利于学生丰富认识，引发联想，启迪思维，拓宽思路，提高分析问题和解决问题的能力。

三、渗透比较思想，厘清数量关系

    所谓比较，就是指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行辨别。在教学“分数解决问题”时，当学完所有的基本类型后，需要对所有不同形式的问题进行纵横比较，设计相应的题组进行对比练习，找出它们之间的异同，厘清数量关系。

    题组1：（1）一本书有150页，已经看了这本书的[3／5]，已经看了多少页？（2）一本书有150页，已经看了这本书的[3／5]，还剩下多少页？学生分别用一步和两步乘法计算解决问题后，教师引导学生比较：为什么第一题用一步计算，而第二题却要两步计算？通过交流，学生厘清了数量关系“一本书的页数×[3／5]=已看的页数”和“一本书的页数×（1-[3／5]）=还剩的页数”，所以两题相应地用一步计算和两步计算解决。教师再引导学生讨论：解答此类题目时要注意什么？学生再次交流并明白，首先要明确比较量相当标准量的几分之几是已知还是未知，即找准比较量与标准量的对应关系，以确定一步计算还是两步计算。

    题组2：（1）一件衣服原价800元，现在降价[1／8]，现价多少元？（2）一件衣服现价800元，降价[1／8]，原价多少元？学生分别列式解答，然后教师引导学生比较：为什么第一题用乘法解决，而第二题却用除法（或方程）解决？通过交流，学生认为数量关系“原价×（1-[1／8]）=现价”是两题的基本数量关系。不同的是，第一题是已知原价，求现价，就是求800元的（1-[1／8]）是多少，所以用乘法解决。而第二题是已知现价，求原价，就是已知原价的（1-[1／8]）是800元，求原价，所以用除法（或方程）解决。

在分数解决问题练习中，设计题组进行训练，不仅有效地渗透了比较思想，还渗透了对应的思想和联系的思想。因此，教师对于这样的习题，训练中千万不能走过场，要充分发挥比较的价值，促进学生解决问题后进行深入思考，真正厘清数量关系，提高解决问题的正确率和熟练程度。

四、渗透变换思想，沟通数量关系

    变换思想是解决数学问题的重要策略之一，它是将一种思维形式转变成另一种思维形式的数学思想。在分数解决问题教学时，可以把复杂分数问题中的数量关系变换为简单问题的数量关系。出示例题：六（6）班男生有24人，女生比男生少[1／6]，女生有多少人？围绕关键句，引导学生变换说法，一种是，女生比男生少的人数正好是男生的[1／6]；另一种是，女生人数是男生人数的[5／6]，即（1-[1／6]）。相应有两种不同解题方案与解题思路：24-24×[1／6]，先求男生人数的[1／6]是多少人，也就是女生比男生少的人数，再用“男生人数-少的人数=女生人数”最终解决问题；24×（1-[1／6]），先明确女生人数相当于男生的（1-[1／6]），再用“男生人数×（1-[1／6]）=女生人数”最终解决问题。这里，不管怎么理解、变换关键句，始终都没有脱离“求男生人数的几分之几是多少人”这个数量关系。所以，通过关键句的变换，沟通了数量关系是“求一个数的几分之几是多少”的一步计算与两步计算分数问题。除上述方法之外，还可以把分数问题与整数、比、按比例分配问题互相变换；把用这种数量关系解决的问题变换成与之相关的，但却是用另一种数量关系解决的问题，等等。教学中，教师应把隐含于数学知识中的变换思想充分揭示出来，利用各种手段加以渗透，使学生在解决问题过程中厘清数量关系，形成知识结构网，并且拓展解题思路。

数学知识点和数学思想方法，汇成了小学分数解决问题知识结构系统的两条线—“明线”和“暗线”。在教学中，教师不能重“明线”而轻“暗线”，教给学生数学知识的同时，要重视挖掘知识发生、形成和发展运用过程中所蕴藏的数学思想方法，不失时机地渗透数学思想方法，把数学思想方法融到思维活动中去，并反复运用数学思想方法，使其在解决问题中不断深化，从而促进学生数学综合素质的提高。对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，要把生活中鲜活的题材引入学习的课堂，只能将部分重要的数学思想方法潜移默化地渗透到教学过程中去，数学思想方法中的建模思想体现了简洁性，使学生对数学学习产生了较为持久的浓厚兴趣，学生学起数学来感觉轻松多了。部分学习困难学生在学习应用题时变得主动而更有信心了，从而大大提高了学生解决分数乘除法应用题的能力。

参考文献：

[1]《数学思想方法》，[J]顾泠沅（2004）.

[2]《在小学数学教学中渗透数学思想方法》[J]陈祥彬（2010）.

[3]《探究在小学数学教学中渗透数学思想方法的有效路径》[J]龚江琳（2017）.